Cách giải phương trình bậc 2

“cách giải phương trình bậc 2” là từ khóa đang được mọi người quan tâm và chú ý đến. Bên cạnh đó, thuthuat.net là kênh chuyên chia sẻ về bản tin của máy tính, công nghệ, cũng như chia sẻ các thủ thuật tiện ích hữu ích cho người dùng. Hôm nay , thuthuat.net sẽ giới thiệu đến các bạn bài viết Cách giải phương trình bậc 2

Toán Toán Lớp 9 Lớp 9


Phương trình bậc 2 một ẩn là một trong những kiến thức quan trọng trong chương trình toán trung học cơ sở. Vì vậy, hôm nay Kiến Guru xin giới thiệu đến bạn đọc bài viết về chủ đề này. Bài viết sẽ tổng hợp các lý thuyết căn bản, đồng thời cũng đưa ra những dạng toán thường gặp và các ví dụ áp dụng một cách chi tiết, rõ ràng. Đây là chủ đề ưa chuộng, hay xuất hiện ở các đề thi tuyển sinh. Cùng Kiến Guru khám phá nhé:

Phương trình bậc 2 một ẩn – Lý thuyết.

Phương trình bậc 2 một ẩn là gì?

Cho phương trình sau: ax2+bx+c=0 (a≠0), được gọi là phương trình bậc 2 với ẩn là x.

Công thức nghiệm: Ta gọi Δ=b2-4ac.Khi đó:

  • Δ>0: phương trình tồn tại 2 nghiệm:.
  • Δ=0, phương trình có nghiệm kép x=-b/2a
  • Δ<0, phương trình đã cho vô nghiệm.

Trong trường hợp b=2b’, để đơn giản ta có thể tính Δ’=b’2-ac, tương tự như trên:

  • Δ’>0: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.
  • Δ’=0: phương trình có nghiệm kép x=-b’/a
  • Δ’<0: phương trình vô nghiệm.

Định lý Viet và ứng dụng trong phương trình bậc 2 một ẩn.

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2+bx+c=0 (a≠0). Giả sử phương trình có 2 nghiệm x1 và x2, lúc này hệ thức sau được thỏa mãn:

Dựa vào hệ thức vừa nêu, ta có thể sử dụng định lý Viet để tính các biểu thức đối xứng chứa x1 và x2

  • x1+x2=-b/a
  • x12+x22=(x1+x2)2-2x1x2=(b2-2ac)/a2

Nhận xét: Đối với dạng này, ta cần biến đổi biểu thức làm sao cho xuất hiện (x1+x2) và x1x2 để áp dụng hệ thức Viet.

Định lý Viet đảo: Giả sử tồn tại hai số thực x1 và x2 thỏa mãn: x1+x2=S, x1x2=P thì x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình x2-Sx+P=0

Một số ứng dụng thường gặp của định lý Viet trong giải bài tập toán:

  • Nhẩm nghiệm phương trình bậc 2: cho phương trình ax2+bx+c=0 (a≠0), 
    • Nếu a+b+c=0 thì phương trình có nghiệm x1=1 và x2=c/a
    • Nếu a-b+c=0 thì phương trình có nghiệm x1=-1 và x2=-c/a
  • Phân tích đa thức thành nhân tử: cho đa thức P(x)=ax2+bx+c nếu x1 và x2 là nghiệm của phương trình P(x)=0 thì đa thức P(x)=a(x-x1)(x-x2)
  • Xác định dấu của các nghiệm: cho phương trình ax2+bx+c=0 (a≠0), giả sử x1 và x2 là 2 nghiệm của phương trình. Theo định lý Viet, ta có:
  • Nếu S<0, x1 và x2 trái dấu.
  • Nếu S>0, x1 và x2 cùng dấu:
    • P>0, hai nghiệm cùng dương.
    • P<0, hai nghiệm cùng âm.

II. Dạng bài tập về phương trình bậc 2 một ẩn:

Dạng 1: Bài tập phương trình bậc 2 một ẩn không xuất hiện tham số.

Để giải các phương trình bậc 2, cách phổ biến nhất là sử dụng công thức tính Δ hoặc Δ’, rồi áp dụng các điều kiện và công thức của nghiệm đã được nêu ở mục I.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

  1. x2-3x+2=0
  2. x2+x-6=0

Hướng dẫn:

  1. Δ=(-3)2-4.2=1. Vậy

Ngoài ra, ta có thể áp dụng cách tính nhanh: để ý 

suy ra phương trình có nghiệm là x1=1 và x2=2/1=2

  1. Δ=12-4.(-6)=25. Vậy

Tuy nhiên, ngoài các phương trình bậc 2 đầy đủ, ta cũng xét những trường hợp đặc biệt sau:

Phương trình khuyết hạng tử.

Khuyết hạng tử bậc nhất: ax2+c=0 (1).

Phương pháp:

  • Nếu -c/a>0, nghiệm là:
  • Nếu -c/a=0, nghiệm x=0
  • Nếu -c/a<0, phương trình vô nghiệm.

Khuyết hạng tử tự do: ax2+bx=0 (2). Phương pháp:

Ví dụ 2:  Giải phương trình:

  1. x2-4=0
  2. x2-3x=0

Hướng dẫn:

  1. x2-4=0 ⇔ x2=4 ⇔ x=2 hoặc x=-2
  2. x2-3x=0 ⇔ x(x-3)=0 ⇔ x=0 hoặc x=3

Phương trình đưa về dạng bậc 2.

Phương trình trùng phương: ax4+bx2+c=0 (a≠0):

  • Đặt t=x2 (t≥0).
  • Phương trình đã cho về dạng: at2+bt+c=0
  • Giải như phương trình bậc 2 bình thường, chú ý điều kiện t≥0

Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

  • Tìm điều kiện xác định của phương trình (điều kiện để mẫu số khác 0).
  • Quy đồng khử mẫu.
  • Giải phương trình vừa nhận được, chú ý so sánh với điều kiện ban đầu.

Chú ý: phương pháp đặt  t=x2 (t≥0) được gọi là phương pháp đặt ẩn phụ. Ngoài đặt ẩn phụ như trên, đối với một số bài toán, cần khéo léo lựa chọn sao cho ẩn phụ là tốt nhất nhằm đưa bài toán từ bậc cao về dạng bậc 2 quen thuộc. Ví dụ, có thể đặt t=x+1, t=x2+x, t=x2-1…

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

  1. 4x4-3x2-1=0

Hướng dẫn:

  1. Đặt t=x2 (t≥0), lúc này phương trình trở thành:

4t2-3t-1=0, suy ra t=1 hoặc t=-¼

  • t=1 ⇔ x2=1  ⇔ x=1 hoặc x=-1.
  • t=-¼ , loại do điều kiện t≥0

Vậy phương trình có nghiệm x=1 hoặc x=-1.

  1. Ta có:

Dạng 2: Phương trình bậc 2 một ẩn có tham số.

Biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2.

Phương pháp: Sử dụng công thức tính Δ, dựa vào dấu của Δ để biện luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt, có nghiệm kép hay là vô nghiệm.

Ví dụ 4: Giải và biện luận theo tham số m: mx2-5x-m-5=0 (*)

Hướng dẫn:

Xét m=0, khi đó (*) ⇔ -5x-5=0 ⇔ x=-1

Xét m≠0, khi đó (*) là phương trình bậc 2 theo ẩn x.

  • Vì Δ≥0 nên phương trình luôn có nghiệm:
    • Δ=0  ⇔ m=-5/2, phương trình có nghiệm duy nhất.
    • Δ>0 ⇔ m≠-5/2, phương trình có 2 nghiệm phân biệt:

Xác định điều kiện tham số để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài.

Phương pháp: để nghiệm thỏa yêu cầu đề bài, trước tiên phương trình bậc 2 phải có nghiệm. Vì vậy, ta thực hiện theo các bước sau:

  • Tính Δ, tìm điều kiện để Δ không âm.
  • Dựa vào định lý Viet, ta có được các hệ thức giữa tích và tổng, từ đó biện luận theo yêu cầu đề.

Ví dụ 5: Cho phương trình x2+mx+m+3=0 (*). Tìm m để phương trình (*) có 2 nghiệm thỏa mãn:

Hướng dẫn:

Để phương trình (*) có nghiệm thì:

Khi đó, gọi x1 và x2 là 2 nghiệm, theo định lý Viet:

Mặt khác:

Theo đề:

Thử lại:

  • Khi m=5, Δ=-7 <0 (loại)
  • Khi m=-3, Δ=9 >0 (nhận)

vậy m = -3 thỏa yêu cầu đề bài.

Trên đây là tổng hợp của Kiến Guru về phương trình bậc 2 một ẩn. Hy vọng qua bài viết, các bạn sẽ hiểu rõ hơn về chủ đề này. Ngoài việc tự củng cố kiến thức cho bản thân, các bạn cũng sẽ rèn luyện thêm được tư duy giải quyết các bài toán về phương trình bậc 2. Các bạn cũng có thể tham khảo thêm các bài viết khác trên trang của Kiến Guru để khám phá thêm nhiều kiến thức mới. Chúc các bạn sức khỏe và học tập tốt!

Cách giải phương trình bậc 2

Phương trình bậc 2 là gì?

Phương trình bậc 2 là phương trình có dạng ax2+bx+c=0 (a≠0) (1).

Giải phương trình bậc 2 là đi tìm các giá trị của x sao cho khi thay x vào phương trình (1) thì thỏa mãn ax2+bx+c=0.Giải phương trình bậc 2

Bước 1: Tính Δ=b2-4ac

Bước 2: So sánh Δ với 0

  • Δ < 0 => phương trình (1) vô nghiệm
  • Δ = 0 => phương trình (1) có nghiệm kép x_{1} =x_{2} = - \frac{b}{2a}
  • Δ > 0 => phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt, ta dùng công thức nghiệm sau:

x_{1} =\frac{-b+\sqrt{\triangle } }{2a} và x_{2} =\frac{-b-\sqrt{\triangle } }{2a}

Mẹo nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 nhanh:

  • Nếu a+b+c=0 thì x= 1, x= c/a
  • Nếu a-b+c=0 thì x= -1, x= -c/a
Cách giải phương trình bậc 2

Ví dụ giải phương trình bậc hai

Giải phương trình 4x– 2x – 6 = 0 (2)

Δ=(-2)– 4.4.(-6) = 4 + 96 = 100 > 0 => phương trình (2) đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

x_{1} =\frac{-(-2)+\sqrt{100} }{2.4} =\tfrac{3}{2} và x_{2} = \frac{-(-2)-\sqrt{100} }{2.4} =-1

Bạn cũng có thể nhẩm theo cách nhẩm nghiệm nhanh, vì nhận thấy 4-(-2)+6=0, nên x1 = -1, x2 = -c/a = -(-6)/4=3/2. Nghiệm vẫn giống ở trên.

Giải phương trình 2x– 7x + 3 = 0 (3)

Tính Δ = (-7)– 4.2.3 = 49 – 24= 25 > 0 => (3) có 2 nghiệm phân biệt:

x_{1} =\frac{-(-7)+\sqrt{25} }{2.2} = 3 và x_{1} =\frac{-(-7)-\sqrt{25} }{2.2} = \frac{1}{2}

Để kiểm tra xem bạn đã tính nghiệm đúng chưa rất dễ, chỉ cần thay lần lượt x1, x2 vào phương trình 3, nếu ra kết quả bằng 0 là chuẩn. Ví dụ thay x1, 2.32-7.3+3=0.

Giải phương trình 3x2 + 2x + 5 = 0 (4)

Tính Δ = 2– 4.3.5 = -56 < 0 => phương trình (4) vô nghiệm.

Giải phương trình x2 – 4x +4 = 0 (5)

Tính Δ = (-4)– 4.4.1 = 0 => phương trình (5) có nghiệm kép:

x_{1} =x_{2} =\frac{-(-4)}{2.1} =2

Thực ra nếu nhanh ý, bạn cũng có thể nhìn ra đây chính là hằng đẳng thức đáng nhớ (a-b)= a– 2ab + b2 nên dễ dàng viết lại (5) thành (x-2)= 0 <=> x=2.Phân tích thành nhân tử

Nếu phương trình (1) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2, lúc nào bạn cũng có thể viết nó về dạng sau: ax+ bx + c = a(x-x1)(x-x2) = 0.

Trở lại với phương trình (2), sau khi tìm ra 2 nghiệm x1, x2 bạn có thể viết nó về dạng: 4(x-3/2)(x+1)=0.

Đi liền với phương trình bậc 2 còn có định lý Vi-et với rất nhiều ứng dụng như tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2 đã nói ở trên, tìm 2 số khi biết tổng và tích, xác định dấu của các nghiệm, hay phân tích thành nhân tử. Đây đều là những kiến thức cần thiết sẽ gắn liền với bạn trong quá trình học đại số, hay các bài tập giải và biện luận phương trình bậc 2 sau này, nên cần ghi nhớ kỹ và thực hành cho nhuần nhuyễn.

Nếu có ý định theo học lập trình, bạn cũng cần có những kiến thức toán cơ bản, thậm chí kiến thức toán chuyên sâu, tùy thuộc vào dự án bạn sẽ làm.

  • Trang chủ
  • Tin tức mới
  • Kiến thức THCS
  • Trung học CS lớp 9
  • Môn Toán 9
  • Các dạng toán Phương trình bậc 2 một ẩn, cách giải và tính nhẩm nghiệm nhanh – Toán lớp 9

Các dạng toán Phương trình bậc 2 một ẩn, cách giải và tính nhẩm nghiệm nhanh – Toán lớp 9

15:04:05 02/10/2018

Sau khi đã làm quen với hệ phương trình bậc nhất 2 ẩn, thì phương trình bậc 2 một ẩn chính là nội dung tiếp theo mà các em sẽ học, đây cũng là nội dung thường có trong chương trình ôn thi vào lớp 10 THPT.

Vì vậy, trong bài viết này chúng ta cùng tìm hiểu cách giải phương trình bậc 2 một ẩn, cách tính nhẩm nghiệm nhanh bằng hệ thức Vi-et, đồng thời giải một số dạng toán về phương trình bậc 2 một ẩn để thông qua bài tập các em sẽ nắm vững nội dung lý thuyết.

I. Tóm tắt lý thuyết về Phương trình bậc 2 một ẩn

1. Phương trình bậc nhất ax + b = 0

– Nếu a ≠ 0, phương trình có nghiệm duy nhất x=(-b/a)

– Nếu a = 0, b ≠ 0, phương trình vô nghiệm

– Nếu a = 0, b = 0, phương trình có vô số nghiệm

2. Phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

a) Công thức nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn:

• Tính 

+) Δ > 0: PT có 2 nghiệm: 

+) Δ = 0: PT có nghiệm kép: 

+) Δ < 0: PT vô nghiệm.

• Tính 

+) Δ’ > 0: PT có 2 nghiệm: 

+) Δ’ = 0: PT có nghiệm kép: 

+) Δ’ < 0: PT vô nghiệm.

b) Định lý Vi-et:

– Gọi x1 và x2 là 2 nghiệm của PT bậc 2 một ẩn ax2 + bx + c = 0 (a≠0):

 

– Ta có thể sử dụng định lý Vi-et để tính các biểu thức của x1 , x2 theo a,b,c:

 ♦ 

 ♦ 

 ♦  

 ♦ 

c) Định lý Vi-et đảo:

– Nếu x1 + x2 = S và x1.x2 = P thì x1, x2 là nghiệm của phương trình: X2 – SX + P = 0 (Điều kiện S2 – 4P ≥ 0)

d) Ứng dụng của định lý Vi-et

* Tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2:

– Nếu a + b + c = 0 thì: x1 = 1 và x2 = (c/a);

– Nếu a – b + c = 0 thì: x1 = -1 và x2 = (-c/a);

* Tìm 2 số khi biết tổng và tích

– Cho 2 số x, y, biết  x + y = S và x.y = P thì x, y là nghiệm của phương trình: X2 – SX + P = 0

* Phân tích thành nhân tử

– Nếu phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có 2 nghiệm x1, x2 thì ax2 + bx + c = a(x – x1)(x – x2) = 0

* Xác định dấu của các nghiệm số

– Cho phương trình: ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0), giả sử PT có 2 nghiệm x1, x2 thì S = x1 + x2 = (-b/a); P = x1x2 = (c/a)

– Nếu P < 0 thì phương trình có 2 nghiệm trái dấu

– Nếu P > 0 và Δ > 0 thì phương trình có 2 nghiệm cùng dấu, khi đó nếu S > 0 thì phương trình có 2 nghiệm dương, S < 0 thì phương trình có 2 nghiệm âm.

II. Một số dạng toán phương trình bậc 2 một ẩn

Dạng 1: Giải phương trình bậc 2 một ẩn

* Phương pháp:

+ Trường hợp 1: Phương trình bậc 2 khuyết hạng tử bậc nhất:

  – Chuyển hạng tử tự do sang vế phải

  – Chia cả 2 vế cho hệ số bậc 2, đưa về dạng x2 = a.

  + Nếu a > 0, phương trình có nghiệm x = ±√a

  + Nếu a = 0, phương trình có nghiệm x = 0

  + Nếu a < 0, phương trình vô nghiệm

+ Trường hợp 2: Phương trình bậc 2 khuyết hạng tử dự do:

  – Phân tích vế trái thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung, đưa về phương trình tích rồi giải.

+ Trường hợp 3: Phương trình bậc 2 đầy đủ:

  – Sử dụng công thức nghiệm, hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải

  – Sử dụng quy tắc tính nhẩm nghiệm để tính nghiệm đối với 1 số phương trình đặc biệt.

 Ví dụ: Giải các phương trình sau:

 a) 2x2 – 4 = 0    b) x2 + 4x = 0

 c) x2 – 5x + 4 = 0

* Lời giải:

a) 2x2 – 4 = 0 ⇔ 2x2 = 4 ⇔ x2 = 2  ⇔ x = ±√2.

⇒ Kết luận: Phương trình có nghiệm x=±√2.

b) x2 + 4x = 0 ⇔ x(x+4) = 0

 ⇔ x = 0 hoặc x + 4 =0

 ⇔ x = 0 hoặc x = -4

⇒ Kết luận: Phương trình có nghiệm x=0 và x=-4.

c) x2 – 5x + 4 = 0

* Cách giải 1: sử dụng công thức nghiệm

 ; 

 ⇒ Kết luận: Phương trình có nghiệm x=1 và x=4.

* Cách giải 2: nhẩm nghiệm

– PT đã cho: x2 – 5x + 4 = 0 có các hệ số a=1; b=-5; c=4 và ta thấy: a + b + c = 1 – 5 + 4 = 0 nên theo ứng dụng của định lý Vi-ét, ta có x1 = 1; x2 = c/a = 4/1 = 4

 ⇒ Kết luận: Phương trình có nghiệm x=1 và x=4.

* Một số lưu ý khi giải phương trình bậc 2:

♦ Nếu gặp hằng đẳng thức 1 và 2 thì đưa về dạng tổng quát giải bình thường, không cần giải theo công thức, ví dụ: x2 – 2x + 1 = 0 ⇔ (x-1)2 = 0 ⇔ x = 1.

♦ Phải sắp xếp lại đúng thứ tự các hạng tử để lập thành phương trình ax2 + bx + c = 0 rồi mới áp dụng công thức, ví dụ: x(x – 5) = 6 ⇔ x2 – 5x = 6 ⇔ x2 – 5x – 6 = 0 ⇔ áp dụng công thức giải tiếp,…

♦ Không phải lúc nào x cũng là ẩn số mà có thể là ẩn y, ẩn z ẩn t hay ẩn a, ẩn b,… tùy vào cách ta chọn
biến, ví dụ: a2 – 3a + 2 = 0; t2 – 6t + 5 = 0.

Dạng 2: Phương trình đưa về phương trình bậc 2 bằng phương pháp đặt ẩn phụ

a) Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0 (a≠0)

* Phương pháp:

 – Đặt t = x2 (t≥0), đưa PT về dạng: at2 + bt + c = 0

 – Giải PT bậc 2 theo t, kiểm tra nghiệm t có thoả điều kiện hay không, nếu có, trở lại phương trình x2 = t để tìm nghiệm x.

b) Phương trình chứa ẩn ở mẫu:

* Phương pháp:

  – Tìm điều kiện xác định của phương trình

  – Quy đồng mẫu thức 2 vế rồi khử mẫu

  – Giải phương trình vừa nhận được

  – Kiểm tra điều kiện các giá trị tìm được, loại các giá trị không thoả mãn điều kiện, các giá trị thoả điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.

 Ví dụ: Giải phương trình sau:

a) x4 – 3x2 + 2= 0

b) 

* Lời giải:

a) x4 – 3x2 + 2= 0  (*)

– Đặt t = x2  (t ≥ 0) ta có (*) ⇔ t2 – 3t + 2 = 0

– Ta thấy a + b + c = 0 ⇒ t = 1 hoặc t = 2 (đều thoả ĐK t ≥ 0)

– Với t = 1: x2 = 1 ⇒ x = ±1

– Với t = 2: x2 = 2 ⇒ x = ±√2

⇒ Kết luận: Phương tình có nghiệm (-√2; -1; 1; √2)

b)  (*)

 ĐK: x ≠ 3; x ≠ 2

 – Quy đồng khử mẫu, PT (*) ta được:

 (x+2)(2-x) – 9(x-3)(2-x) = 6(x-3)

⇔ 4 – x2 – 9(-x2 + 5x – 6) = 6x – 18

⇔ 4 – x2 + 9x2 -45x + 54 – 6x + 18 = 0

⇔ 8x2 – 51x + 76 = 0

   ;

– Cả 2 nghiệm trên đều thoả ĐK x ≠ 3; x ≠ 2; 

⇒ PT có nghiệm: x1 = 19/8 và x2 = 4;

Dạng 3: Giải biện luận số nghiệm của phương trình bậc 2 có tham số

* Phương pháp:

 – Sử dụng công thức nghiệm, hoặc công thức nghiệm thu gọn để giải,

 – Tính  theo tham số:

    + Nếu Δ > 0: phương trình có 2 nghiệm phân biệt

    + Nếu Δ = 0: phương trình có nghiệm kép

    + Nếu Δ < 0: phương trình vô nghiệm

 Ví dụ: Giải biện luận theo m, phương trình: mx2 – 5x – m – 5 = 0 (*)

* Lời giải:

– Trường hợp m = 0 thì (*) trở thành: -5x – 5 = 0 ⇒ x = -1

– Trường hợp m ≠ 0, ta có:

  = 25 + 4m(m+5) = 25 + 4m2 + 20m = (2m+5)2

– Ta thấy: Δ = (2m+5)2 ≥ 0, ∀ m nên PT(*) sẽ luôn có nghiệm

   + Nếu Δ = 0 ⇒ m =-5/2 thì PT (*) có nghiệp duy nhất: 

   + Nếu Δ = 0 ⇒ m < -5/2 hoặc m > -5/2 thì PT (*) có 2 nghiệm phân biệt:

Dạng 4: Xác định tham số m để phương trình bậc 2 thoả mãn điều kiện nghiệm số

* Phương pháp

– Giải phương trình bậc 2, tìm x1; x2 (nếu có)

– Với điều kiện về nghiệm số của đề bài giải tìm m

– Bảng xét dấu nghiệm của phương trình bậc 2 một ẩn:

bảng xét dấu phương trình bậc 2 một ẩn

* Lưu ý: Nếu bài toán yêu cầu phương trình có 2 nghiệm phân biệt thì ta xét Δ > 0 ; còn nếu đề bài chỉ nói chung chung phương trình có 2 nghiệm thì ta xét Δ ≥ 0.

• Tìm điều kiện tổng quát để phương trình ax2 + bx + c = 0 (a≠0) có:

 1. Có nghiệm (có hai nghiệm) ⇔ Δ ≥ 0

 2. Vô nghiệm ⇔ Δ < 0

 3. Nghiệm duy nhất (nghiệm kép, hai nghiệm bằng nhau) ⇔ Δ = 0

 4. Có hai nghiệm phân biệt (khác nhau) ⇔ Δ > 0

 5. Hai nghiệm cùng dấu ⇔  Δ ≥ 0 và P > 0

 6. Hai nghiệm trái dấu  ⇔ Δ > 0 và P < 0 ⇔ a.c < 0

 7. Hai nghiệm dương (lớn hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0; S > 0 và P > 0

 8. Hai nghiệm âm (nhỏ hơn 0) ⇔ Δ ≥ 0; S < 0 và P > 0

 9. Hai nghiệm đối nhau ⇔ Δ ≥ 0 và S = 0

 10.Hai nghiệm nghịch đảo nhau ⇔ Δ ≥ 0 và P = 1

 11. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn  ⇔ a.c < 0 và S < 0

 12. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn ⇔ a.c < 0 và S > 0

 Ví dụ: Cho phương trình bậc 2 ẩn x tham số m: x2 + mx + m + 3 = 0  (*)

a) Giải phương trình với m = -2.

b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả x12 + x22 = 9

c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm x1 , x2 thoả 2x1 + 3x2 = 5

* Lời giải:

a) với m = -2 thì (*) ⇔ x2 – 2x + 1 = 0

– Ta thấy, a + b + c = 0 nên theo Vi-et PT có nghiệm: x1 = 1; x2 = c/a = 1; 

– Hoặc: x2 – 2x + 1 = 0 ⇔ (x-1)2 = 0 nên có nghiệp kép: x = 1

b) Để PT: x2 + mx + m + 3 = 0 có 2 nghiệm thì:

– Khi đó theo định lý Vi-et ta có: x1 + x2 = -m và x1x2 = m+3

 Mà x12 + x22 = x12 + 2x1x2 + x22 – 2x1x2

      = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = (-m)2 – 2(m+3) = m2 – 2m – 6

– Do đó, để: x12 + x22 = 9 ⇔  m2 – 2m – 6 = 9 ⇔  m2 – 2m – 15 = 0

 Ta tính Δ’m = (-1)2 – 1(-15) = 16 ⇒ 

 ⇒ PT có 2 nghiệm m1 = (1+4)/1 = 5 và m2 = (1-4)/1 = -3

– Thử lại ĐK của m để Δ ≥ 0:

  _ Với m = 5 ⇒ Δ = 25 – 32 = -7 < 0 (loại)

  _ Với m = -3 ⇒ Δ = 9 > 0 (thoả ĐK)

⇒ Vậy với m = -3 thì PT (*) có 2 nghiệm thoả x12 + x22 = 9

c) Theo câu b) PT có 2 nghiệm x1 , x2 ⇔ Δ ≥ 0

Theo Vi-et ta có: 

– Theo yêu cầu bài toán ta cần tìm m sao cho: 2x1 + 3x2 = 5, ta sẽ tìm x1 và x2 theo m

– Ta giải hệ:   

– Lại có x1x2 = m + 3 ⇒ (-3m-5)(2m+5) = m+3

 ⇔ -6m2 – 25m – 25 = m + 3

 ⇔ 6m2 + 26m + 28 = 0

 ⇔ 3m2 + 13m + 14 = 0

 Tính Δm = 132 – 4.3.14 = 1 > 0.

 ⇒ PT có 2 nghiệm phân biệt: m1 = -7/3; m2 = -2

– Thử lại điều kiện: Δ ≥ 0;

  _ Với m = -7/3; Δ = 25/9 > 0 (thoả)

  _ Với m = -2;  Δ = 0 (thoả)

⇒ Kết luận: với m=-2 hoặc m=-7/3 thì PT có 2 nghiệm thoả 2x1 + 3x2 = 5.

Dạng 5: Giải bài toán bằng cách lập phương trình

* Phương pháp: Vận dụng linh hoạt theo yêu cầu bài toán để lập phương trình và giải

 Ví dụ: Trong lúc học nhóm Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn một số, sao cho 2 số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150, vậy 2 bạn Minh và Lan phải chọn nhưng số nào?

* Lời giải:

– Gọi số bạn Minh chọn là x, thì số bạn Lan chọn sẽ là x + 5

– Theo bài ra, tích của 2 số này là 150 nên ta có: x(x+5) = 150

 ⇔ x2 + 5x – 150 = 0

 ; 

b) PT vô nghiệm

c) x1 = -1; x2 = 5/6

d) x1 = -1; x2 = -2/3

e) nghiệm kép: y = 4

f) nghiệm kép: z = -3/4

III. Luyện tập các dạng bài tập phương trình bậc hai một ẩn

Bài 1: Giải các phương trình sau:

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

Bài 2: Giải các phương trình sau bằng phương pháp tính nhẩm nghiệm

a) 

b) 

c) 

d) 

e) 

f) 

Bài 3: Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình x2 – 3x – 7 = 0. Không giải phương trình tính giá trị của các biểu thức sau:

1) 

2) 

3) 

4) 

5) 

Bài 4: Gọi x1 và x2 là nghiệm của phương trình 3x2 + 5x – 6 = 0. Không giải phương trình tính giá trị của các biểu thức sau:

1) 

2) 

Bài 5: Cho phương trình (2m-1)x2 – 2mx + 1 = 0. Xác định m để phương trình trên có nghiệm thuộc khoảng (-1;0)

Bài 6: Cho phương trình có ẩn x: x2 – mx + m – 1 = 0 (m là tham số).

1) CMR luôn có nghiệm x1, x2 với mọi giá trị của m

2) Đặt 

 a) Chứng minh: A = m2 – 8m + 8

 b) Tìm m sao cho A = 8.

 c) Tính giá trị nhỏ nhất của A và của m tương ứng

 d) Tìm m sao cho x1 = 3x2.

Hy vọng với bài viết hướng dẫn cách giải phương trình bậc 2 một ẩn và các dạng toán cùng cách tính nhẩm nghiệm ở trên hữu ích cho các em. Mọi góp ý và thắc mắc các em vui lòng để lại lời nhắn dưới phần bình luận để HayHocHoi.Vn ghi nhận và hỗ trợ, chúc các em học tập tốt.

Cách giải phương trình bậc 2 và tính nhẩm nghiệm PT bậc 2

Bồi dưỡng Toán 9Bài viết này Trung tâm Gia sư Hà Nội chia sẻ với các em cách giải phương trình bậc 2 và tính nhẩm nghiệm của PT bậc 2 trong trường hợp đặc biệt.

Có nhiều dạng toán trong chương trình Toán 9 và ôn thi vào lớp 10 môn Toán cần phải biết phương pháp giải phương trình bậc 2 thì mới làm được.

Định nghĩa phương trình bậc 2

Phương trình bậc hai là phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0. Với

  • x là ẩn số
  • a, b, c là các số đã biết sao cho: a ≠ 0
  • a, b, c là những hệ số của phương trình và có thể phân biệt bằng cách gọi tương ứng với hệ số của x (theo phương trình trên thì a là hệ số bậc hai, b là hệ số bậc một, c là hằng số hay số hạng tự do).

Phương pháp giải phương trình bậc 2

Giải phương trình bậc 2: ax2 + bx + c = 0 theo biệt thức delta (Δ)

Định lý Vi-ét với PT bậc 2

Công thức Vi-ét về quan hệ giữa các nghiệm của đa thức với các hệ số của nó. Trong trường hợp phương trình bậc hai một ẩn, được phát biểu như sau:

Một số trường hợp đặc biệt của PT bậc 2

Nếu phương trình bậc 2 có:

Cách tính nhẩm nghiệm phương trình bậc 2

Xuất phát từ định lý Vi-ét, chúng ta có các dạng toán tính nhẩm như sau:

Dạng 1: A = 1, B = Tổng, C = Tích

Nếu phương trình có dạng x2 – (u+v)x + uv = 0 thì phương trình đó có hai nhiệm u và v.

Nếu phương trình có dạng x2 + (u+v)x + uv = 0 thì phương trình có hai nghiệm -u và –v.

Tóm lại:

  • x2 – (u+v)x + uv = 0 => x1 = u, x2 = v (1)
  • x2 + (u+v)x + uv = 0 => x1 = -u, x2 = -v

Như vậy, với dạng này chúng ta cần thực hiện 2 phép nhẩm: “Phân tích hệ số c thành tích và b thành tổng”. Trong hai phép nhẩm đó, chúng ta nên nhẩm hệ số c trước rồi kết hợp với b để tìm ra hai số thỏa mãn tích bằng c và tổng bằng b.

Khi tiến hành, bạn nhẩm trong đầu như sau: Tích của hai nghiệm bằng c, mà tổng lại bằng b.

Ví dụ phương trình:

x2 – 5x + 6 = 0
Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 6, mà tổng lại bằng 5”. Hai số đó là: 2 và 3 vì 6 = 2×3 và 5 = 2 + 3. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 3.

x2 – 7x + 10 = 0
Nhẩm: “Tích của hai nghiệm bằng 10, mà tổng lại bằng 7”. Hai số đó là: 2 và 5 vì 10 = 2×5 và 7 = 2 + 5. Vậy phương trình có hai nghiệm x = 2, x = 5.

Dạng 2: A + B + C = 0 và A – B + C = 0

x2 – (u+v)x + uv = 0 => x1 = u, x2 = v (1)

  • Nếu thay v = 1 vào (1) thì chúng ta sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm quen thuộc a + b + c = 0, với a = 1, b = -(u+1), c = u.
  • Nếu thay v = -1 vào (1) thì bạn sẽ có trường hợp nhẩm nghiệm a – b + c = 0, với a = 1, b = -(u-1), c = -u.

Do loại này đã quá quen thuộc và thường gặp, nên bài viết không xét các ví dụ cho trường hợp này mà tập trung vào Dạng 1 và Dạng 3.

Dạng 3: Hai nghiệm là nghịch đảo của nhau

Nếu u ≠ 0 và v = 1/thì phương trình (1) có dạng:

Khi đó: Phương trình có hai nghiệm là nghịch đảo của nhau x= u, x = 1/u. Đây cũng là trường hợp hay gặp khi giải toán. Ví dụ phương trình:

  • 2x2 – 5x + 2 = 0 có hai nghiệm x = 2, x = 1/2
  • 3x2 – 10x + 3 = 0 có hai nghiệm x = 3, x = 1/3

Các ví dụ giải PT bậc 2

Bài tập tự giải các PT bậc 2

  1. 2x2 + 6x + 5 = 0
  2. x2 – 4x + 4 = 0
  3. 2x2 + 7x – 3 = 0.

Chia sẻTwitter LinkedIn Pin It


Video Toán 9 – Cách giải phương trình bậc 2, giải phương trình bằng cách nhẩm nghiệm, hệ thức Viet

Cảm ơn các bạn đã theo dõi bài viết Cách giải phương trình bậc 2. Chúng tôi hi vọng đã mang đến thông tin hữu ích cho bạn. Mọi ý kiến đóng góp hoặc thắc mắc hãy comment bên dưới dưới, chúng tôi sẽ phản hồi sớm nhất có thể. Thuthuat.net chúc bạn ngày mới tốt lành

Viết một bình luận